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効用最大化 と 費用最小化 の最適化問題としての双対性。


間接効用関数

需要関数

x_1=D_1(p_1,p_2,m)
x_2=D_2(p_1,p_2,m)

を効用関数U=U(x_1,x_2)に代入すると

U=U(f_1(p_1,p_2,m),f_2(p_1,p_2,m))

となり、右辺は p_1,p_2,m の関数と見なすことができる。
これを

V=V(p_1,p_2,m)

と書き直して間接効用関数と呼ぶ。この値は価格がp_1,p_2、所得がmであるときに消費者の得られる効用の最大値をあらわす。
「間接」と呼ぶのは、直接に効用が依存するのはやはり財の購入量であり、価格と所得は間接にしか影響しないため。

補償需要関数


今までの最大化問題:
m,p_1,p_2 を外生とし、
制約条件 m=p_1x_1+p_2x_2 のもとで
関数 U(x_1,x_2) を最大化する x_1,x_2 をもとめる。

新しく、
最小化問題:
u,p_1,p_2 を外生とし、
制約条件 u=U(x_1,x_2) のもとで
p_1x_1+p_2x_2 を最小化する x_1,x_2 をもとめる。

ある効用の水準 u を達成するために必要な費用を最小化する財の購入量をもとめている。

これをとくことにより補償需要関数

x_1=D^{u}_{1}(p_1,p_2)
x_2=D^{u}_{2}(p_1,p_2)

が得られる。

支出関数

p_1*D^{u}_{1}(p_1,p_2)+p_2*D^{u}_{2}(p_1,p_2)

という量は、補償需要関数が「価格p_1,p_2のもとで効用uを実現するための最小費用の財の購入量」をあらわしていることを考えれば、購入量と価格の積だから「価格p_1,p_2のもとで効用uを実現するための最小費用」であるとわかる。これを

E(p_1,p_2,u) = p_1*D^{u}_{1}(p_1,p_2)+p_2*D^{u}_{2}(p_1,p_2)

とおいて支出関数とよぶ。


このとき以下の関係が成り立つ。関数の持つ意味をかんがえるといいと思う。

D^{u}_{1}(p_1,p_2)=D_1(p_1,p_2,E(p_1,p_2,u))
D^{u}_{2}(p_1,p_2)=D_2(p_1,p_2,E(p_1,p_2,u))

u=V(p_1,p_2,E(p_1,p_2,u))
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貨幣の需要
貨幣の需要は何の関数になっているか?
①取引量
②利子率
③総資産

①取引量
取引(フロー)が大きいほど決済手段としての貨幣(ストック)の需要は高まると考えられる。
取引量とGDPは一致はしないがほぼ同じ動きをするから、GDPの関数と考える。
月に仕送り15万円の大学生と、月商10億円の企業の貨幣需要の比較

②利子率
利子率があがれば債券需要が増え、その結果貨幣需要は減る。
利子率がさがれば債券需要が減り、その結果貨幣需要は増える。

③総資産
株価・地価が上昇して総資産が増えると、その増分は貨幣需要に回ると考えられる。(資産効果)

以上から、L:貨幣需要 Y:GDP i:利子率 W:総資産 とすると

L=L(Y,i,W)

とかけ、LはY,Wの増加関数、iの減少関数。これにより貨幣需要が決まると考える。



貨幣の供給
貨幣の供給=マネーサプライ

マネーサプライの9割は銀行預金。
銀行預金をマクロのレベルで変化させるのは金融機関による貸出。

民間金融機関の貸出量は「日本銀行当座預金」の量によって制限される。
日本銀行は「日本銀行当座預金」の総量を

①日本銀行貸出(公定歩合での貸出)
②買いオペ・売りオペ
③法定準備率の変更
  (準備率:その銀行のもつ預金の一定割合を日銀当座預金としてあずけなければならない。その割合。)
 
によってコントロールする。(マネーサプライを(間接的に)コントロールするため)



M:マネーサプライ H:ハイパワードマネー C:現金通貨 D:預金 R:銀行の準備 r:準備率

定義を書き直せば
M=C+D
H=C+R
R=rD
となる。これより比

M/H=((C/D)+1)/((C/D)+r))

となり、これを貨幣乗数という。




短期的には金融市場の混乱がないように、日本銀行がマネーサプライをみてハイパワードマネーを決める。
長期的には、ハイパワードマネーをコントロールしてマネーサプライを決める。
と見ることができる。
2章がフローについて。
3章がストック(資産)について。


資産の特性

①収益性
②リスク
③流動性
④分割可能性

異なる特性をもつ資産を、自分がベストだと思う組み合わせで保有する。
これをポートフォリオ選択という。

ハイリスク・ハイリターンの原則


貨幣

貨幣の機能
①価値基準
②交換・決済手段
③価値保蔵手段

これを考えると、現金通貨以外にも「貨幣」にふくめるべきものがありそう。貨幣の定義はいくつもあり、M_1、M_2、M_3などがある。

マネーサプライは普通
M_2+CD=M_1+準通貨+CD
      =現金通貨+預金通貨+準通貨+CD
とされる。


債券

債券とは
保有者に対し、現在から将来にわたり一定期間ごとにあらかじめ決められた額の支払いを約束する証書。

理論価格PはキャッシュフローCFの現在価値。

P=∑_{k=1}^{n}CF/(1+i)^k

価格と利子率は逆に動く。


株価と地価

リスクプレミアム


資産市場の均衡

市場にはさまざまな資産があるが、簡明さのために
「貨幣」「債券」の2つの資産からなるモデルを考えることにする。

「貨幣」はリスクがなく流動性も高いが収益性は「債券」に比べはるかに低い(0と仮定する)。また唯一の決済手段である。

「債券」はリスクがあり収益性が高い。
現実の、債券・株式・土地などはみなこれに含まれることになる。



資産市場の均衡とは、
「貨幣供給」=「貨幣需要」
「債券供給」=「債券需要」
が成り立つことだが、どちらかひとつで需給が一致していればもう一方も一致する。よって、片方だけ、貨幣市場の均衡だけかんがえればよいことになる。

乗数
貯蓄とGDP
政府の支出と税
政府を含めた市場を考える。
G:政府支出 T:税収 として、財市場の均衡は

Y=C+I+G

に(有効需要の原理)、消費関数は

C=C_0+c(Y-T)

に書き換えられる。
また、税収が所得に依存することから、税関数

T=T_0+tY

とすると均衡のY(GDP)は

Y=(C_0+I+G-cT_0)/(1-c(1-t))

となる。

ビルトインスタビライザー

オープンエコノミー
外国との交渉のある開放経済を考える。
X:輸出 M:輸入 とすれば財市場の均衡は

Y=C+I+G+X-M

とかける。(有効需要の原理)
消費関数
C:総消費 C_0:所得と独立に決まる消費(生存を維持するための最低水準の消費など)
c:所得から消費へ向けられる割合 Y:総所得

C=C_0+cY

所得がきまったときの消費の決まり方を表現したもの。

限界消費性向 貯蓄

財市場におけるマクロの需給均衡とGDPの決定
(総需要が消費と投資からなるという仮定のもとで)
有効需要原理は

Y=C+I

となるようにY:所得が決まると主張する。
消費関数とあわせて、IがきまればY(GDP)が決定できる。

会計上の恒等式と経済理論の均衡式
会計上の概念では、YとC+Iは実現値として常に等しくなる。
経済学で需要C+Iと供給Yを考えるときは、「願望」としての需要供給を考えている。
Y>C+I、Y< C+Iという場合があり得る(むしろ普通)が、Y=C+Iとして考えるのは均衡Yが安定であり、現実の供給をよく近似するものと考えられるから。

ISバランス


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