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効用最大化 と 費用最小化 の最適化問題としての双対性。


間接効用関数

需要関数

x_1=D_1(p_1,p_2,m)
x_2=D_2(p_1,p_2,m)

を効用関数U=U(x_1,x_2)に代入すると

U=U(f_1(p_1,p_2,m),f_2(p_1,p_2,m))

となり、右辺は p_1,p_2,m の関数と見なすことができる。
これを

V=V(p_1,p_2,m)

と書き直して間接効用関数と呼ぶ。この値は価格がp_1,p_2、所得がmであるときに消費者の得られる効用の最大値をあらわす。
「間接」と呼ぶのは、直接に効用が依存するのはやはり財の購入量であり、価格と所得は間接にしか影響しないため。

補償需要関数


今までの最大化問題:
m,p_1,p_2 を外生とし、
制約条件 m=p_1x_1+p_2x_2 のもとで
関数 U(x_1,x_2) を最大化する x_1,x_2 をもとめる。

新しく、
最小化問題:
u,p_1,p_2 を外生とし、
制約条件 u=U(x_1,x_2) のもとで
p_1x_1+p_2x_2 を最小化する x_1,x_2 をもとめる。

ある効用の水準 u を達成するために必要な費用を最小化する財の購入量をもとめている。

これをとくことにより補償需要関数

x_1=D^{u}_{1}(p_1,p_2)
x_2=D^{u}_{2}(p_1,p_2)

が得られる。

支出関数

p_1*D^{u}_{1}(p_1,p_2)+p_2*D^{u}_{2}(p_1,p_2)

という量は、補償需要関数が「価格p_1,p_2のもとで効用uを実現するための最小費用の財の購入量」をあらわしていることを考えれば、購入量と価格の積だから「価格p_1,p_2のもとで効用uを実現するための最小費用」であるとわかる。これを

E(p_1,p_2,u) = p_1*D^{u}_{1}(p_1,p_2)+p_2*D^{u}_{2}(p_1,p_2)

とおいて支出関数とよぶ。


このとき以下の関係が成り立つ。関数の持つ意味をかんがえるといいと思う。

D^{u}_{1}(p_1,p_2)=D_1(p_1,p_2,E(p_1,p_2,u))
D^{u}_{2}(p_1,p_2)=D_2(p_1,p_2,E(p_1,p_2,u))

u=V(p_1,p_2,E(p_1,p_2,u))
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