経済学の勉強

2.5　双対性アプローチ

効用最大化　と　費用最小化　の最適化問題としての双対性。

間接効用関数

需要関数

x_1=D_1(p_1,p_2,m)
x_2=D_2(p_1,p_2,m)

を効用関数U=U(x_1,x_2)に代入すると

U=U(f_1(p_1,p_2,m),f_2(p_1,p_2,m))

となり、右辺は　p_1,p_2,m　の関数と見なすことができる。
これを

V=V(p_1,p_2,m)

と書き直して間接効用関数と呼ぶ。この値は価格がp_1,p_2、所得がmであるときに消費者の得られる効用の最大値をあらわす。
「間接」と呼ぶのは、直接に効用が依存するのはやはり財の購入量であり、価格と所得は間接にしか影響しないため。

補償需要関数

今までの最大化問題：
m,p_1,p_2　を外生とし、
制約条件　m=p_1x_1+p_2x_2　のもとで
関数　U(x_1,x_2)　を最大化する　x_1,x_2 をもとめる。

新しく、
最小化問題：
u,p_1,p_2　を外生とし、
制約条件　u=U(x_1,x_2)　のもとで
p_1x_1+p_2x_2　を最小化する　x_1,x_2 をもとめる。

ある効用の水準 u を達成するために必要な費用を最小化する財の購入量をもとめている。

これをとくことにより補償需要関数

x_1=D^{u}_{1}(p_1,p_2)
x_2=D^{u}_{2}(p_1,p_2)

が得られる。

支出関数

p_1*D^{u}_{1}(p_1,p_2)+p_2*D^{u}_{2}(p_1,p_2)

という量は、補償需要関数が「価格p_1,p_2のもとで効用uを実現するための最小費用の財の購入量」をあらわしていることを考えれば、購入量と価格の積だから「価格p_1,p_2のもとで効用uを実現するための最小費用」であるとわかる。これを

E(p_1,p_2,u) = p_1*D^{u}_{1}(p_1,p_2)+p_2*D^{u}_{2}(p_1,p_2)

とおいて支出関数とよぶ。

このとき以下の関係が成り立つ。関数の持つ意味をかんがえるといいと思う。

D^{u}_{1}(p_1,p_2)=D_1(p_1,p_2,E(p_1,p_2,u))
D^{u}_{2}(p_1,p_2)=D_2(p_1,p_2,E(p_1,p_2,u))

u=V(p_1,p_2,E(p_1,p_2,u))

３章　資産市場②

貨幣の需要
貨幣の需要は何の関数になっているか？
①取引量
②利子率
③総資産

①取引量
取引（フロー）が大きいほど決済手段としての貨幣（ストック）の需要は高まると考えられる。
取引量とGDPは一致はしないがほぼ同じ動きをするから、GDPの関数と考える。
月に仕送り15万円の大学生と、月商10億円の企業の貨幣需要の比較

②利子率
利子率があがれば債券需要が増え、その結果貨幣需要は減る。
利子率がさがれば債券需要が減り、その結果貨幣需要は増える。

③総資産
株価・地価が上昇して総資産が増えると、その増分は貨幣需要に回ると考えられる。（資産効果）

以上から、L：貨幣需要　Y：GDP　i：利子率　W：総資産　とすると

L=L(Y,i,W)

とかけ、LはY,Wの増加関数、iの減少関数。これにより貨幣需要が決まると考える。

貨幣の供給
貨幣の供給＝マネーサプライ

マネーサプライの９割は銀行預金。
銀行預金をマクロのレベルで変化させるのは金融機関による貸出。

民間金融機関の貸出量は「日本銀行当座預金」の量によって制限される。
日本銀行は「日本銀行当座預金」の総量を

①日本銀行貸出（公定歩合での貸出）
②買いオペ・売りオペ
③法定準備率の変更
　　（準備率：その銀行のもつ預金の一定割合を日銀当座預金としてあずけなければならない。その割合。）
　
によってコントロールする。（マネーサプライを（間接的に）コントロールするため）

M：マネーサプライ　H：ハイパワードマネー　C：現金通貨　D：預金　R：銀行の準備　r：準備率

定義を書き直せば
M=C+D
H=C+R
R=rD
となる。これより比

M/H=((C/D)+1)/((C/D)+r))

となり、これを貨幣乗数という。

短期的には金融市場の混乱がないように、日本銀行がマネーサプライをみてハイパワードマネーを決める。
長期的には、ハイパワードマネーをコントロールしてマネーサプライを決める。
と見ることができる。

３章　資産市場

２章がフローについて。
３章がストック（資産）について。

資産の特性

①収益性
②リスク
③流動性
④分割可能性

異なる特性をもつ資産を、自分がベストだと思う組み合わせで保有する。
これをポートフォリオ選択という。

ハイリスク・ハイリターンの原則

貨幣

貨幣の機能
①価値基準
②交換・決済手段
③価値保蔵手段

これを考えると、現金通貨以外にも「貨幣」にふくめるべきものがありそう。貨幣の定義はいくつもあり、M_1、M_2、M_3などがある。

マネーサプライは普通
M_2+CD=M_1+準通貨+CD
　　　　　=現金通貨+預金通貨+準通貨+CD
とされる。

債券

債券とは
保有者に対し、現在から将来にわたり一定期間ごとにあらかじめ決められた額の支払いを約束する証書。

理論価格PはキャッシュフローCFの現在価値。

P=∑_{k=1}^{n}CF/(1+i)^k

価格と利子率は逆に動く。

株価と地価

リスクプレミアム

資産市場の均衡

市場にはさまざまな資産があるが、簡明さのために
「貨幣」「債券」の２つの資産からなるモデルを考えることにする。

「貨幣」はリスクがなく流動性も高いが収益性は「債券」に比べはるかに低い（0と仮定する）。また唯一の決済手段である。

「債券」はリスクがあり収益性が高い。
現実の、債券・株式・土地などはみなこれに含まれることになる。

資産市場の均衡とは、
「貨幣供給」＝「貨幣需要」
「債券供給」＝「債券需要」
が成り立つことだが、どちらかひとつで需給が一致していればもう一方も一致する。よって、片方だけ、貨幣市場の均衡だけかんがえればよいことになる。

２章　GDPの決定③

乗数
貯蓄とGDP
政府の支出と税
政府を含めた市場を考える。
G：政府支出　T：税収　として、財市場の均衡は

Y=C+I+G

に（有効需要の原理）、消費関数は

C=C_0+c(Y-T)

に書き換えられる。
また、税収が所得に依存することから、税関数

T=T_0+tY

とすると均衡のY（GDP）は

Y=(C_0+I+G-cT_0)/(1-c(1-t))

となる。

ビルトインスタビライザー

オープンエコノミー
外国との交渉のある開放経済を考える。
X：輸出　M：輸入　とすれば財市場の均衡は

Y=C+I+G+X-M

とかける。（有効需要の原理）

２章　GDPの決定②

消費関数
C：総消費　C_0：所得と独立に決まる消費（生存を維持するための最低水準の消費など）
c：所得から消費へ向けられる割合　Y：総所得

C=C_0+cY

所得がきまったときの消費の決まり方を表現したもの。

限界消費性向　貯蓄

財市場におけるマクロの需給均衡とGDPの決定
（総需要が消費と投資からなるという仮定のもとで）
有効需要原理は

Y=C+I

となるようにY：所得が決まると主張する。
消費関数とあわせて、IがきまればY（GDP）が決定できる。

会計上の恒等式と経済理論の均衡式
会計上の概念では、YとC+Iは実現値として常に等しくなる。
経済学で需要C+Iと供給Yを考えるときは、「願望」としての需要供給を考えている。
Y>C+I、Y< C+Iという場合があり得る（むしろ普通）が、Y=C+Iとして考えるのは均衡Yが安定であり、現実の供給をよく近似するものと考えられるから。

ISバランス

２章　GDPの決定

GDPの水準がどのようにきまるか？
４５度線モデルとケインズの有効需要の原理をつかって考える。

有効需要の原理

生産水準が需要によって決定されることを主張。
（新古典派・価格によって決定）

↓

右下がりの個別需要曲線を想定
＝プライステイカーでない
＝不完全競争
（新古典派・水平な個別需要曲線、プライステイカー、完全競争）

マクロ

基本は岩波の方にした。

２章　GDPの決定
３章　資産市場
４章　IS/LMモデル
５章　オープンエコノミー
６章　失業とインフレ／デフレ
７章　新古典派
８章　消費・貯蓄と投資
９章　景気循環
１０章　経済成長

とりあえず、２章３章で、ケインズ経済学のさわりと基本的にどの立場でも認められるマクロ経済学の基礎を同時にやる。
４、５章がケインズの大事なところ。

2.4　交換の理論

マクロもやらなきゃ…。でもこのへんは一回は理解したところでやるのらくだから安住してる。

あと、書くのを忘れてた。

2　消費者行動
2.1
2.2
2.3
2.4　交換の理論
2.5　双対性アプローチ
2.6　スルツキー方程式

3　企業行動

。

改めて2.4交換の理論。

財の交換
財２つで考える。
消費者が財１のみを持っていて、それを適当な量だけ売って財２を買い、効用を最大化する、という状況。
（これには財１：余暇、財２：消費財という具体例があって、それがほんとの目的らしい）

保有量をe_1として、いままでと同じ文字をつかうと
最大化問題の制約は

p_1*x_1+p_2*x_2=p_1*e_1

となる。この問題をといて需要関数を導くと

x_1=f_1(p_1,p_2,p_1*e_1)
x_2=f_2(p_1,p_2,p_1*e_1)

となる。保有量e_1を一定と考えれば、需要は価格比p_1/p_2だけに依存するから

x_1=g_1(p_1/p_2)
x_2=g_2(p_1/p_2)

とかける。ここで財１の売却量s、財２の購入量bとするとx_1=e_1-s x_2=b　で、e_1は定数だからs,bも価格比p_1/p_2の関数とみなせて、bについてはひっくりかえして

s=S(p_1/p_2)
b=D(p_2/p_1)

となり、これを第１財の供給関数、第２財の需要関数という。（ひっくりかえしたのは、価格比の上昇がその財の価格の上昇ほうこうにするため。）

労働供給
財１：余暇　財２：消費財　とする。余暇を削って労働を供給し、賃金をもらって消費財を購入して効用を最大化する、という状況。

余暇：x
労働量：L
可能な最大労働量：L_0
賃金（労働の価値）：w
消費財の購入量：c
消費財の価格：p

とすると、効用はu(x,c)で、また余暇と労働について　x=L_0-L 　。
予算制約は　p*c=w*L　で、これに余暇と労働の関係式をいれると

p*c+w*x=w*L_0 。

これから上と同じように労働の供給関数　L=S(w/p)　が導ける。
w/p　は実質賃金率をあらわし、労働供給はw/pの関数になっていると考えられる。

労働供給曲線の後方湾曲

ちなみにこの本では商品・サービスをまとめて財と呼んでいる。

2.2　効用最大化と需要　2.3　需要の変化と財の分類

制約つきの効用最大化
効用関数を予算制約のもとで最大化する。
一定の予算の中で、どの財をどれだけ買えば一番幸せかを考えるということ。x:財、p:価格、m:所得　とすると、

u(x_1,x_2) を p_1*x_1+p_2*x_2=m のもとで最大化

この定式化は現実をよくとらえているように思える。
一方で現実にてらして、自分で効用の形を確かに把握しているか、全ての財を一度に考慮することができるとしていいのか、最適点を選んでいるのかという批判がある。（限定合理性）

解法としては、ラグランジュ乗数法を使えばいい。

需要関数
上の最大化問題を解くと
x_1=f_1(p_1,p_2,m)
x_2=f_2(p_1,p_2,m)
という形になる。（関数f_1,f_2の形は元の効用関数uの形に依存している。）
この需要関数により、価格pのxに与える影響、所得mのxに与える影響が調べられる。→下級／上級、必需／奢侈、ギッフェンの分類。

所得効果、代替効果

2.1 選好と効用関数②

財が複数の場合
「通常の仮定」は、偏微分に置き換えればいい。
財がひとつのときに比べて複数の財の関係である「代替」などの概念が出てくる。

無差別曲線
x_1 x_2 平面上に描かれる効用u一定の点を全てつないだ曲線。
x_1 x_2 u 空間で描けばお椀の等高線になる。
（通常の仮定が満たされていればお椀になる）

限界代替率MRS
第２財の第１財に対する限界代替率
第１財１単位の効用に与える変化分と等しい変化分を与える第２財の量
無差別曲線の傾きになる。

dx_2/dx_1 = du/dx_1 1/(du/dx_2)

経済学の勉強

2.5 双対性アプローチ

３章 資産市場②

３章 資産市場

２章 GDPの決定③

２章 GDPの決定②

２章 GDPの決定

マクロ

2.4 交換の理論

2.2 効用最大化と需要 2.3 需要の変化と財の分類