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効用最大化 と 費用最小化 の最適化問題としての双対性。


間接効用関数

需要関数

x_1=D_1(p_1,p_2,m)
x_2=D_2(p_1,p_2,m)

を効用関数U=U(x_1,x_2)に代入すると

U=U(f_1(p_1,p_2,m),f_2(p_1,p_2,m))

となり、右辺は p_1,p_2,m の関数と見なすことができる。
これを

V=V(p_1,p_2,m)

と書き直して間接効用関数と呼ぶ。この値は価格がp_1,p_2、所得がmであるときに消費者の得られる効用の最大値をあらわす。
「間接」と呼ぶのは、直接に効用が依存するのはやはり財の購入量であり、価格と所得は間接にしか影響しないため。

補償需要関数


今までの最大化問題:
m,p_1,p_2 を外生とし、
制約条件 m=p_1x_1+p_2x_2 のもとで
関数 U(x_1,x_2) を最大化する x_1,x_2 をもとめる。

新しく、
最小化問題:
u,p_1,p_2 を外生とし、
制約条件 u=U(x_1,x_2) のもとで
p_1x_1+p_2x_2 を最小化する x_1,x_2 をもとめる。

ある効用の水準 u を達成するために必要な費用を最小化する財の購入量をもとめている。

これをとくことにより補償需要関数

x_1=D^{u}_{1}(p_1,p_2)
x_2=D^{u}_{2}(p_1,p_2)

が得られる。

支出関数

p_1*D^{u}_{1}(p_1,p_2)+p_2*D^{u}_{2}(p_1,p_2)

という量は、補償需要関数が「価格p_1,p_2のもとで効用uを実現するための最小費用の財の購入量」をあらわしていることを考えれば、購入量と価格の積だから「価格p_1,p_2のもとで効用uを実現するための最小費用」であるとわかる。これを

E(p_1,p_2,u) = p_1*D^{u}_{1}(p_1,p_2)+p_2*D^{u}_{2}(p_1,p_2)

とおいて支出関数とよぶ。


このとき以下の関係が成り立つ。関数の持つ意味をかんがえるといいと思う。

D^{u}_{1}(p_1,p_2)=D_1(p_1,p_2,E(p_1,p_2,u))
D^{u}_{2}(p_1,p_2)=D_2(p_1,p_2,E(p_1,p_2,u))

u=V(p_1,p_2,E(p_1,p_2,u))
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マクロもやらなきゃ…。でもこのへんは一回は理解したところでやるのらくだから安住してる。

あと、書くのを忘れてた。

2 消費者行動
2.1
2.2
2.3
2.4 交換の理論
2.5 双対性アプローチ
2.6 スルツキー方程式

3 企業行動




改めて2.4交換の理論。

財の交換
財2つで考える。
消費者が財1のみを持っていて、それを適当な量だけ売って財2を買い、効用を最大化する、という状況。
(これには財1:余暇、財2:消費財という具体例があって、それがほんとの目的らしい)

保有量をe_1として、いままでと同じ文字をつかうと
最大化問題の制約は

p_1*x_1+p_2*x_2=p_1*e_1

となる。この問題をといて需要関数を導くと

x_1=f_1(p_1,p_2,p_1*e_1)
x_2=f_2(p_1,p_2,p_1*e_1)

となる。保有量e_1を一定と考えれば、需要は価格比p_1/p_2だけに依存するから

x_1=g_1(p_1/p_2)
x_2=g_2(p_1/p_2)

とかける。ここで財1の売却量s、財2の購入量bとするとx_1=e_1-s x_2=b で、e_1は定数だからs,bも価格比p_1/p_2の関数とみなせて、bについてはひっくりかえして

s=S(p_1/p_2)
b=D(p_2/p_1)

となり、これを第1財の供給関数第2財の需要関数という。(ひっくりかえしたのは、価格比の上昇がその財の価格の上昇ほうこうにするため。)

労働供給
財1:余暇 財2:消費財 とする。余暇を削って労働を供給し、賃金をもらって消費財を購入して効用を最大化する、という状況。

余暇:x
労働量:L
可能な最大労働量:L_0
賃金(労働の価値):w
消費財の購入量:c
消費財の価格:p

とすると、効用はu(x,c)で、また余暇と労働について x=L_0-L  。
予算制約は p*c=w*L で、これに余暇と労働の関係式をいれると

p*c+w*x=w*L_0 。

これから上と同じように労働の供給関数 L=S(w/p) が導ける。
w/p は実質賃金率をあらわし、労働供給はw/pの関数になっていると考えられる。

労働供給曲線の後方湾曲

ちなみにこの本では商品・サービスをまとめて財と呼んでいる。
制約つきの効用最大化
効用関数を予算制約のもとで最大化する。
一定の予算の中で、どの財をどれだけ買えば一番幸せかを考えるということ。x:財、p:価格、m:所得 とすると、

u(x_1,x_2) を p_1*x_1+p_2*x_2=m のもとで最大化


この定式化は現実をよくとらえているように思える。
一方で現実にてらして、自分で効用の形を確かに把握しているか、全ての財を一度に考慮することができるとしていいのか、最適点を選んでいるのかという批判がある。(限定合理性)

解法としては、ラグランジュ乗数法を使えばいい。

需要関数
上の最大化問題を解くと
x_1=f_1(p_1,p_2,m)
x_2=f_2(p_1,p_2,m)
という形になる。(関数f_1,f_2の形は元の効用関数uの形に依存している。)
この需要関数により、価格pのxに与える影響、所得mのxに与える影響が調べられる。→下級/上級、必需/奢侈、ギッフェンの分類。

所得効果、代替効果
財が複数の場合
「通常の仮定」は、偏微分に置き換えればいい。
財がひとつのときに比べて複数の財の関係である「代替」などの概念が出てくる。

無差別曲線
x_1 x_2 平面上に描かれる効用u一定の点を全てつないだ曲線。
x_1 x_2 u 空間で描けばお椀の等高線になる。
(通常の仮定が満たされていればお椀になる)

限界代替率MRS
第2財の第1財に対する限界代替率
第1財1単位の効用に与える変化分と等しい変化分を与える第2財の量
無差別曲線の傾きになる。

dx_2/dx_1 = du/dx_1 1/(du/dx_2)
効用関数 u(x)
x は例えば米の消費量(100gとか5kgとか)、u は米によって得られる効用の大きさを表す。


効用関数の通常の仮定
u'(x)>0
経済学で考える範囲ではだいたい、財は増えればうれしい。例えば、米は100gより5kgの方が効用がおおきい。
増えればうれしい、という仮定。

u"(x)<0
財が増えるにつれ、1単位の財の増加による効用の増加が減少するという仮定。
たとえば、今0kgの米を持っている人が1kgの米を得たときと、10tの米を持っている人が1kgの米を得たときの効用の増加を考えると、前者の方が大きい。
これがほとんど全ての財について成り立つだろう、ということでこの仮定を置く。限界効用逓減。



よくある効用関数(log(x)とかx^{1/2})(←二つ目はxの1/2乗、という意味。これからも使うかもしれないので)はみんなこの仮定を満たしている。
というより、上の経済学的直観を満たす、ちょうどいい関数形だということで使われている。
これ以上に効用関数の関数形を絞る経済学的議論がないため、場合によってログが使われたりルートがつかわれたりすることになっている。


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